Question

已知集合A₁={z|z

.

z

+3i（

.

z

-z）+5=0，z∈C}，集合A₂={ω|ω=2iz，z∈A₁}，當(dāng)z₁∈A₁，z₂∈A₂時(shí)，求|z₁-z₂|的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得兩集合均為圓上的點(diǎn)，由圓的幾何知識(shí)可得．

解答： 解：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，其中x，y為實(shí)數(shù)，
根據(jù)z

.

z

+3i（

.

z

-z）+5=0可得x²+y²+3i（-2yi）+5=0
即x²+y²+6y+5=0，即x²+（y+3）²=4
A₁表示以（0，-3）為圓心2為半徑的圓上的點(diǎn)，
又w=2iz=-2y+2xi，設(shè)w=x′+y′i
則x′=-2y，y′=2x，即x=

y′

2

，y=-

x′

2

，
把x和y代入上述圓的方程可得y′²+x′²-12x′+20=0，
配方可得（x′-6）²+y′²=16，
也表示一個(gè)圓，圓心為（6，0）半徑為4，
∴A₂表示以（6，0）為圓心4為半徑的圓上的點(diǎn)，
可得兩圓心之間的距離為

62+(-3)2

=3

5

，
可得3

5

＞2+6，故兩圓相離，
|z₁-z₂|表示兩個(gè)圓上的點(diǎn)的距離，
顯然最大值為圓心距加上兩個(gè)半徑和6+3

5

，
最小值為圓心距減掉兩個(gè)半徑和3

5

-6

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬中檔題．