Question

在直角坐標(biāo)平面上給定一曲線y²=2x．
（ 1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

2

3

，0），求曲線上距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0）a∈R，求曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，并寫出d=f（a）的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得|PA|²=（x-

2

3

）²+y²，利用x的范圍求得|PA|的最小值；
（2）依題意可得）|PA|²=（x-a）²+y²=分析當(dāng)a-1≥0和a-1＜0時(shí)|PA|的最小值，進(jìn)而可求得d．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線y²=2x上任意一點(diǎn)，
∴|PA|²=（x-

2

3

）²+y²=x²-

4

3

x+

4

9

+2x=（x+

1

3

）²+

1

3

，
當(dāng)x=0時(shí)，|PA|_min=

2

3

，此時(shí)P（0，0）．
（2）設(shè)P（x，y）為y²=2x上任意一點(diǎn)，
∴|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）
①當(dāng)a≥1時(shí)，x=a-1≥0，即a≥1處|PA|_min=

2a-1

；
②當(dāng)a＜1時(shí)，x=0，|PA|_min=|a|．
綜上所述，d=

2a-1 ，a≥1 |a|，a＜1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的性質(zhì)，綜合了函數(shù)的定義域和值域的問題，要注意對(duì)a的范圍進(jìn)行分類討論，屬于中檔題．