Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)的軌跡為.

(Ⅰ)求軌跡的方程；

(Ⅱ)設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線,，

（�。┊�(dāng)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ），

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意，由拋物線定義知軌跡的方程為，或設(shè)，依題意:

即化簡(jiǎn)得；（Ⅱ）（�。┮椎们芯�的方程為，切線的方程為，因切線,均過(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，當(dāng)點(diǎn)時(shí),直線的方程為；（ⅱ）由拋物線定義得，聯(lián)立方程得，，

又點(diǎn)在直線上，所以 ，所以

，當(dāng)時(shí)，取得最小值

試題解析：法一：(Ⅰ)依題意，由拋物線定義知軌跡的方程為 4分

(Ⅱ)拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得 ..5分

設(shè),，其中，，

則切線,的斜率分別為,，

所以切線的方程為，即，即，

同理可得切線的方程為 ..6分

因?yàn)榍芯�,均過(guò)點(diǎn)，所以，，

所以為方程的兩組解

所以直線的方程為 .8分

①當(dāng)點(diǎn)時(shí),直線的方程為； 9分

②由拋物線定義知，

所以

聯(lián)立方程 消去整理得,

故， 10分

所以

又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以

所以

所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為 .12分

法二： (Ⅰ)設(shè)，依題意:

即

化簡(jiǎn)得

則軌跡的方程為 ..4分

(Ⅱ) ① 依題意過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，可知切線的斜率存在，設(shè)為，

則切線的方程為，即， ..5分

聯(lián)立消得： ①

由解得或

將代入①式可得，即

將代入①式可得，即

直線的方程為； ..8分

②同法一 ..12分

考點(diǎn)：圓錐曲線及其在最值中的應(yīng)用