Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2

2

，AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=

π

3

．
（1）求證：AB₁⊥BC；
（2）求二面角B₁-AC-B的余弦值；
（3）求點B到平面AB₁C的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）∠AB₁C₁是異面直線AB₁，BC所成的角，由已知條件推導(dǎo)出AB12+B1C12=AC12，由此能證明AB₁⊥BC．
（2）取AC中點O，BC中點D，連接B₁O，DO，∠B₁OD就是二面角B₁-AC-B的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-B的余弦值．
（3）取AA₁的中點F，連CF，由正三角形性質(zhì)得CF⊥AA₁，從而得到CF⊥平面ABB₁A₁，設(shè)點B到平面AB₁C的距離為h，由VC-ABB1=VB-AB1C．利用等積法能求出點B到平面AB₁C的距離．

解答： （1）證明：∵BC∥B₁C₁，∴∠AB₁C₁是異面直線AB₁，BC所成的角，…（1分）
∵BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2

2

，AA₁=AC=4，
∴在直角△AA₁B₁中，AB₁=2

6

，在直角△A₁B₁C₁中，B1C1=2

6

，
∵∠A1C1C=

π

3

，∴∠AA1C1=

2π

3

，∴在△AA₁C₁中，AC1=4

3

，
∴在△AB₁C₁中，AB12+B1C12=AC12，…（3分）
∴△AB₁C₁為直角三角形，∴∠AB1C1=

π

2

，∴AB₁⊥BC．…（4分）
（2）解：取AC中點O，BC中點D，連接B₁O，DO，
∵B1C=B1A=2

6

，∴B₁O⊥AC，且B1O=2

5

，
∵BA⊥平面AA₁C₁C，∴DO∥BA，∴DO⊥AC，
∴∠B₁OD就是二面角B₁-AC-B的平面角，…（6分）
延長OD至E，使OD=DE，∴OE與A₁B₁平行且相等，
∴四邊形OEB₁A₁為平行四邊形，∵DO∥BA，∴DO⊥平面AA₁C₁C，∴DO⊥A₁O，
∴四邊形OEB₁A₁為矩形，…（8分）
∴在直角△OEB₁中，cos∠B1OD=

OE

OB1

=

AB

OB1

=

2 2

2 5

=

10

5

．…（9分）
（3）解：取AA₁的中點F，連CF，∵△ACA₁為正三角形，∴CF⊥AA₁，且CF=2

3

，
∵AB⊥CF，AA₁，AB是平面ABB₁A₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，…（11分）
設(shè)點B到平面AB₁C的距離為h，VC-ABB1=VB-AB1C．…（12分）
∴

1

3

×S△ABB1×CF=

1

3

×S△AB1C×h，
∴

1

3

×

1

2

×AB×BB1×CF=

1

3

×

1

2

×AC×B1O×h，
∴h=

2 30

5

．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．