Question

19．函數(shù)f（x）=ln（x²-x+1）-$\frac{2}{|2x-1|}$的所有零點(diǎn)的和為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=ln[（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]-$\frac{1}{{|x-\frac{1}{2}|}}$，它是由偶函數(shù)g（x）=ln（x²+$\frac{3}{4}$）-$\frac{1}{|x|}$的圖象向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位得到，故f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱(chēng)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)的和x₁+x₂=2×$\frac{1}{2}$=1．

解答 解：f（x）=ln[（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]-$\frac{1}{{|x-\frac{1}{2}|}}$，
它是由偶函數(shù)g（x）=ln（x²+$\frac{3}{4}$）-$\frac{1}{|x|}$的圖象向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位得到，
故f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{1}{2}$對(duì)稱(chēng)，
又g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
畫(huà)圖知g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖示：

故f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
由g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則兩個(gè)零點(diǎn)之和為0，
∴f（x）=ln（x²-x+1）-$\frac{2}{|2x-1|}$的所有零點(diǎn)的和x₁+x₂=2×$\frac{1}{2}$=1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象變換，考查偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．