如圖，在三棱錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點到平面的距離．

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）由等腰三角形三線合一得到，由中位線得到，從而得到，利用并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到，再結(jié)合以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用（1）中的條件得到平面，以點為頂點，為底面計算三棱錐的體積，然后更換頂點，變成以點為頂點，為底面來計算三棱錐，利用等體積法從而計算三棱錐的高，即點到平面的距離；解法二是作或其延長線于點，然后證明平面，從而得到的長度為點到平面的距離，進而計算的長度即可.
試題解析：（1）證明：在正中，是的中點，所以．
因為是的中點，是的中點，所以，故．
又，，、平面，
所以平面．
因為平面，所以，
又，，、平面，
所以平面；

（2）解法1：設點到平面的距離為，
因為，是的中點，所以，
因為為正三角形，所以，
因為，，所以，
所以，
因為，
由（1）知，所以，
在中，，
所以.
因為<

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點，與交于點，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖在正三棱錐P-ABC中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，E為BC的中點，

(1)求證：BC⊥PA
(2)求點C到平面PAB的距離

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

(1)求異面直線B1C1與AC所成角的大�。�
(2)若該直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，求點A到平面A1BC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點．

（1）求證：；
（2）求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；
（2）若，求與所成角的余弦值；
（3）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線上確定一點，使得平面，并求此時的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,是邊長為3的正方形，，,與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設點是線段上一動點，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論.

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