Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．
（1）證明：SO⊥平面ABC；
（2）求直線SO與平面ASC所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，由此能證明SO⊥平面ABC．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出直線SO與平面ASC所成角的正切值．

解答： （1）證明：由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，
連接OA，△ABC為等腰直角三角形，
∴OA=OB=OC=

2

2

SA，且AO⊥BC，
又△SBC為等腰三角形，∴SO⊥BC，且SO=

2

2

SA，
從而OA²+SO²=SA²，
∴△SOA為直角三角形，∴SO⊥AO，
又AO∉BO=O，
∴SO⊥平面ABC．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA分別為x軸、y軸的正半軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)B（1，0，0），則C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），O（0，0，0），

SO

=（0，0，-1），

AC

=（-1，-1，0），

AS

=（0，-1，1），
設(shè)平面ASC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =-x-y=0 n •• AS =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），
設(shè)直線SO與平面ASC所成角為θ，
sinθ=|cos＜

SO

，

n

＞|=|

SO • n

| SO |•| n |

|=|

1

3

|=

3

3

，
cosθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴直線SO與平面ASC所成角的正切值tanθ=

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．