Question

已知實(shí)數(shù)x滿足4^x-10•2^x+16≤0，求函數(shù)的值域．

Answer 1

解：由題意知：4^x-10•2^x+16≤0，解得2≤2^x≤8，
∴1≤x≤3，
∵=，
令t=log₃x，則t∈[0，1]，
∴y=t²-t+2=（t-）²+，t∈[0，1]，
∴當(dāng)t=時(shí)，y_min=，
當(dāng)t=1時(shí)，y_max=，
∴f（x）的值域是 ．
分析：把“指數(shù)2^x”作為一個(gè)整體，求不等式（2^x）²-10•2^x+16≤0的解集，即可求出log₃x的范圍，利用換元法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=t²-t+2，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用配方法即可求出函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求指數(shù)型的不等式和對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，把“對(duì)數(shù)log₃x”作為一個(gè)整體，求它的范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于它的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域，考查了整體思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．