Question

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求極值，可先求得導(dǎo)數(shù)，然后通過解不等式確定增區(qū)間，解不等式確定減區(qū)間，則可得極大值和極小值；（2）要證明此不等式，我們首先研究不等式左邊的函數(shù)，記，求出其導(dǎo)數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，這是時(shí)最小值，，這是時(shí)的最大值，因此要證明題中不等式，可分類，和分別證明．

試題解析：（1）依題意，，

故，

令，則或； 令，則，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值

（2）由（1）知，令，

則，

可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令．

① 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象在圖象的上方．

② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以其最小值為最大值為2，而，所以函數(shù)的圖象也在圖象的上方．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，．