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8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長AB=1.過點A1的平面α與正方體的面相交,交線圍成一個正三角形.
(1)在圖中畫出這個正三角形(不必說明畫法和理由);
(2)平面α將該正方體截成兩個幾何體,求體積較大的幾何體的體積和表面積.

分析 (1)連接A1D,AB,BD,則△A1BD為所求三角形;
(2)使用作差法求出幾何體的體積,求出各個面的面積即可得出幾何體的表面積.

解答 解:(1)連接A1D,AB,BD,則△A1BD為所求三角形,如圖所示:

(2)平面α將正方體截成三棱錐A1-ABD和多面體BCD-A1B1C1D1兩部分
VA1-ABD=13×12×1×1×1=16,
V多面體BCD-A1B1C1D1=1-16=56
因此體積較大的幾何體是多面體BCD-A1B1C1D1,其體積為56
由BD=2,得S△A1BD=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}
又S△BCD=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2},S正方形BB1C1C=1,
故多面體BCD-A1B1C1D1的表面積為\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}×3+1×3=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{9}{2}

點評 本題考查了空間幾何體的體積與表面積計算,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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