Question

函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)，現(xiàn)給出如下命題：
（1）f（x）=

1

x

在[1，3]上具有性質(zhì)P；
（2）若f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
（3）若f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，則f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
（4）若f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P，f（x²）在[1，

3

]上具有性質(zhì)P；
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P的定義，結(jié)合函數(shù)凸凹性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

在[1，3]上為減函數(shù)，則由圖象可知對(duì)任意x₁，x₂∈[1，3]，有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，成立，故（1）正確，
（2）在[1，3]上，f（2）=f[

x+(4-x)

2

]≤

1

2

[f（x）+f（4-x）]，
∵F（x）在x=2時(shí)取得最大值1，
∴

f(x)+f(4-x)≥2 f(x)≤f(x)max=1 f(4-x)≤f(x)max=1

，
∴f（x）=1，即對(duì)任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故（2）正確；

（3）反例：f（x）=

( 1 2 )x， 1≤x＜3 2， x=3

，在[1，3]上滿足性質(zhì)P，
但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故（3）不成立；
（4）反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x²）=-x²在[1，

3

]上不滿足性質(zhì)P，故（4）不成立；
綜上正確的命題是（1），（2）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，實(shí)質(zhì)上是考查函數(shù)的凹凸性及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解這一性質(zhì)，靈活運(yùn)用這一性質(zhì)，可通過舉反例，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．