Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a₁=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1-an2

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）bn+1=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

，由此能求出b₁，b₂，b₃，b₄的值和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由an=

1

n+3

，得S_n=

n

4(n+4)

，從而4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，由此能推導(dǎo)出4aSn＜b恒成立．

解答： 解：（1）bn+1=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

，
∵a1=

1

4

，b1=

3

4

，
∴b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

，
∵a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

1-an2

，
∴1-an+1=

1-an

1-an2

，
化簡(jiǎn)得

1

an+1

-

1

an

=1，而

1

a1

=4，
∴an=

1

n+3

，
從而bn=1-an=

n+2

n+3

．
（2）∵an=

1

n+3

，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n•a_n+1
=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

，
∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

，
由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，
即可滿足條件，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱軸是-

3(a-2)

2(a-1)

＜0f（n）在[1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)，
f（1）=4a-15＜0，∴a＜

15

4

，而a＜1，∴當(dāng)a＜1時(shí)恒成立．
綜上知a≤1時(shí)，4aSn＜b恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式恒成立的推導(dǎo)，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．