Question

已知等差數列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數列{b_n}的前n項和為T_n，且Tn=1-

1

2

bn．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，試判斷n≥4時

1

bn

與S_n+1的大小，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由于數列{a_n}是等差數列，故只需求出首項和公差就可求其通項公式；由數列{b_n}的前n項和為T_n   通過遞推然后兩式相減可求得b_n．
（2）利用等差數列求和公式得出S_n，S_n+1．猜想：n≥4時，

1

bn

＞S_n+1，最后利用數學歸納法證明．

解答：解：（1）設a_n的首項為a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

，∴

2a1+5d=12 (a1+d)(a1+4d)=27

∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
n=1時，b₁=T₁=1-

1

2

b₁，∴b₁=

2

3

n≥2時，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
兩式相減得b_n=

1

3

b_n-1數列是等比數列，
∴b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1；
（2）S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

bn

=

3n

2

n≥4時，

1

bn

＞S_n+1，證明如下：
下面用數學歸納法證明：①當n=4時，已證．
②假設當n=k （k∈N^*，k≥4）時，

1

bk

＞S_k+1，即

3k

2

＞（k+1）²．
那么n=k+1時，

1

bk+1

=

3k+1

2

=3•

3k

2

＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1時，結論也成立．
由①②可知n∈N^*，n≥4時，

1

bn

＞S_n+1都成立．

點評：本小題主要考查等差數列的通項公式、等比數列的通項公式、數列與不等式的綜合、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．