Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項為10，公差為2，等比數(shù)列{b_n}的首項為1，公比為2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)第n個正方形的邊長為C_n=min{a_n，b_n}，求前n個正方形的面積之和S_n．（注：min{a，b}表示a與b的最小值．）

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，即可求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）先證明當(dāng)n≥6時，不等式b_n＞a_n成立，再用分組求和法，求出前n個正方形的面積之和S_n．

解答： 解：（1）因為等差數(shù)列{a_n}的首項為10，公差為2，
所以a_n=10+（n-1）×2，即a_n=2n+8．
因為等比數(shù)列{b_n}的首項為1，公比為2，
所以bn=1×2n-1，即bn=2n-1．
（2）因為a₁=10，a₂=12，a₃=14，a₄=16，a₅=18，a₆=20，b₁=1，b₂=2，b₃=4，b₄=8，b₅=16，b₆=32．
易知當(dāng)n≤5時，a_n＞b_n．
下面證明當(dāng)n≥6時，不等式b_n＞a_n成立．
方法1：①當(dāng)n=6時，b6=26-1=32＞20=2×6+8=a₆，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥6）時，不等式成立，即2^k-1＞2k+8．
則有2^k=2×2^k-1＞2（2k+8）=2（k+1）+8+（2k+6）＞2（k+1）+8．
這說明當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
綜合①②可知，不等式對n≥6的所有整數(shù)都成立．
所以當(dāng)n≥6時，b_n＞a_n．
方法2：因為當(dāng)n≥6時bn-an=2n-1-(2n+8)=(1+1)n-1-(2n+8)=(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+…+

C

n-1 n-1

)-(2n+8)≥(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

+

C

n-3 n-1

+

C

n-2 n-1

+

C

n-1 n-1

)-(2n+8)
=2(

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+

C

2 n-1

)-(2n+8)=n²-3n-6=n（n-4）+（n-6）＞0，
所以當(dāng)n≥6時，b_n＞a_n．
所以n≤5時，Sn=c12+c22+c32+…+cn2=b12+b22+b32+…+bn2
=2⁰+2²+2⁴+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)．
當(dāng)n＞5時，Sn=c12+c22+c32+…+cn2
=(b12+b22+…+b52)+(a62+a72+…+an2)=

1

3

(45-1)+4[（6+4）²+（7+4）²+…+（n+4）²]
=341+4[（6²+7²+…+n²）+8（6+7+…+n）+16（n-5）]
=341+4[（1²+2²+…+n²）-（1²+2²+…+5²）]+32（6+7+…+n）+64（n-5）
=341+4[

n(n+1)(2n+1)

6

-55]+32×

(6+n)(n-5)

2

+64(n-5)=

4

3

n3+18n2+

242

3

n-679．
綜上可知，S_n=

1 3 (4n-1)，n≤5 4 3 n3+18n2+ 242 3 n-679，n＞5.

點評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、分組求和等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．