Question

已知x＞0，且x≠1，數列{a_n}的前n項和為S_n，它滿足條件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，數列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求數列{b_n}的前n項和T_n；
（2）若對一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）化簡條件

xn-1

Sn

=1-

1

x

，表示出S_n，利用a_n=S_n-S_n-1求數列{a_n}通項公式，從而確定b_n應用對數運算的性質表示出T_n，利用錯位相減法求和即可；
（2）將（1）中所求b_n代入b_n＜b_n+1，化簡后分情況討論，當x＞1時，由lgx＞0可得x＞

n

n+1

，解得，x＞1；當0＜x＜1時，由lgx＜0可得，x＜

n

n+1

，解得0＜x＜

1

2

．

解答： 解析：（1）∵

xn-1

Sn

=1-

1

x

，
∴Sn=

x(xn-1)

x-1

，
當n=1時，a1=S1=

x(x1-1)

x-1

=x，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

x(xn-1)

x-1

-

x(xn-1-1)

x-1

=xn，
∴an=xn（n∈N^*），
此時b_n=a_n•lgxⁿ=xⁿ•lgxⁿ=n•xⁿlgx，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=lgx•（x+2x²+3x²+…+nxⁿ），
設u_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ，
則xu_n=x²+2x³+3x⁴+…+（n-1）xⁿ+nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）u_n=x+x²+x³+…+xⁿ-nxⁿ⁺¹=

x(xn-1)

x-1

-nxn+1
∴un=

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

，
∴Tn=lgx•[

nxn+1

x-1

-

x(xn-1)

(x-1)2

]
（2）由b_n＜b_n+1?nxⁿlgx＜（n+1）xⁿ⁺¹lgx知，
①當x＞1時，由lgx＞0可得，
x＞

n

n+1

，
∵

n

n+1

＜1（n∈N^*）x＞1
∴x＞

n

n+1

對一切n∈N^*都成立，
∴解得，x＞1．
②當0＜x＜1時，由lgx＜0可得，
n＞（n+1）x，
即x＜

n

n+1

，
∵

n

n+1

≥

1

2

（n∈N^*），0＜x＜1，
∴0＜x＜

n

n+1

對一切n∈N^*都成立
∴此時的解為0＜x＜

1

2

，由①②可知，對一切n∈N^*，
都有b_n＜b_n+1的取值范圍是0＜x＜

1

2

或a＞1．

點評：本題主要考查a_n=S_n-S_n-1的靈活應用，錯位相減法求和，不等式恒成立問題的解決等綜合知識，屬于難題．