Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（ a＞b＞0）的焦距為2

3

，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線l：y=2x+b（b∈R）與橢圓Γ相交于A、B兩點(diǎn)，且∠AOB為鈍角．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（ a＞b＞0）的焦距為2

3

，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，求出a，b，即可求橢圓Γ的方程；
（2）直線l：y=2x+b（b∈R）代入橢圓Γ，利用韋達(dá)定理，結(jié)合∠AOB為鈍角，即可求b的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知

a2-b2=3 a=2b

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線l：y=2x+b（b∈R）代入橢圓Γ，可得17x²+16bx+4b²-4=0，
∴△=256b²-16×17（b²-1）＞0，即b²＜17，且x₁+x₂=-

16b

17

，x₁x₂=

4b2-4

17

∴y₁y₂=4x₁x₂+2b（x₁+x₂）+b²=

b2-16

17

．
∵∠AOB為鈍角，
∴x₁x₂+y₁y₂=

5b2-20

17

＜0，
∴-2＜b＜2，
∵b=0時(shí)，∠AOB為平角，
∴b的取值范圍為（-2，0）∪（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．