Question

如圖，焦點在x軸的橢圓，離心率e=

2

2

，且過點A（-2，1），由橢圓上異于點A的P點發(fā)出的光線射到A點處被直線y=1反射后交橢圓于Q點（Q點與P點不重合）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓方程，利用離心率e=

2

2

，且過點A（-2，1），求出幾何量，即可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線AP方程、直線AQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)PQ的方程為y=-x+m，代入橢圓方程，利用弦長公式求出|PQ|，再求出原點O到直線的距離，可得△OPQ的面積，利用基本不等式，即可求其最大值．

解答： （1）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，
∵橢圓經(jīng)過點（-2，1），
∴

4

a2

+

1

b2

=1，
∵e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

6

，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

3

=1（5分）
（2）證明：設(shè)直線AP方程為y=k（x+2）+1，則直線AQ的方程為y=-k（x+2）+1
由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

可得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），由A（-2，1）可得x1-2=

-4k(2k+1)

1+2k2

，x1=

-4k2-4k+2

1+2k2

，
∴P（

-4k2-4k+2

1+2k2

，

-2k2+4k+1

1+2k2

），
同理可得Q（

-4k2+4k+2

1+2k2

，

-2k2-4k+1

1+2k2

），
∴k_PQ=-1（10分）
（3）由（2），設(shè)PQ的方程為y=-x+m，代入橢圓方程得：3x²-4mx+2m²-6=0．
令△＞0，得-3＜m＜3，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

4m

3

，x1•x2=

2m2-6

3

，
∴|PQ|2=

16(9-m2)

9

設(shè)原點O到直線的距離為d，則d2=

m2

2

，
∴

s

2 △OPQ

=

1

4

|PQ|2d2=

2m2(9-m2)

9

≤

9

2

，
當(dāng)m=±

3 2

2

時，△OPQ面積的最大值為

3 2

2

（15分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查基本不等式，屬于中檔題．