Question

若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=na_n．求{b_n}的前10項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由an =

2，n=1 2n-1，n≥2

，b_n=na_n，知{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀=2+2•2+3•2²+…+10•2⁹，由此利用錯(cuò)位相減法能求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ，
∴a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1=1≠a₁，
∴an =

2，n=1 2n-1，n≥2

．
（Ⅱ）∵an =

2，n=1 2n-1，n≥2

，b_n=na_n，
∴{b_n}的前10項(xiàng)和T₁₀=2+2•2+3•2²+…+10•2⁹，①
2T₁₀=2•2+2•2²+3•2³+…+10•2¹⁰，②
②-①，得：T₁₀=-2-2²-2³-…-2⁹+10•2¹⁰
=10•2¹⁰-

2(1-29)

1-2

=9•2¹⁰+2
=9218．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前10項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用，是中檔題．