Question

（本小題滿分14分）

已知拋物線上一點到其焦點F的距離為4；橢圓的離心率，且過拋物線的焦點F.

（I）求拋物線和橢圓的標準方程；

（II）過點F的直線交拋物線于A、B兩不同點，交軸于點N，已知，求證：為定值.

（III）直線交橢圓于P，Q兩不同點，P，Q在x軸的射影分別為，，，若點S滿足：，證明：點S在橢圓上.

Answer 1

（I）拋物線的方程為；橢圓的標準方程為（II）見解析；（III）見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）拋物線上一點到其焦點的距離為；

拋物線的準線為

拋物線上點到其焦點的距離等于到準線的距離

所以,所以

拋物線的方程為 2分

橢圓的離心率,且過拋物線的焦點

所以，,解得

所以橢圓的標準方程為 4分

(Ⅱ)直線的斜率必存在,設(shè)為,設(shè)直線與橢圓交于

則直線的方程為,

聯(lián)立方程組:

所以

,所以 (*) 5分

由得:

得: 7分

所以

將(*)代入上式,得 9分

(Ⅲ)設(shè)

所以,則

由得(1) 11分

,(2) (3)

(1)+(2)+(3)得:

即滿足橢圓的方程

命題得證 14分

考點：橢圓的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用.