Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性.

（2）當時，證明：對任意的，有.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對分類求解原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，即證．令，，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值和的最小值，由的最大值小于的最小值得答案．

（1）解：由定義域為，得

，

當時，，

當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)；

當時，，二次方程有兩根，，，

當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)．

綜上可得，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）證明：要證，

即證，

即，

，，

也就是證，

即證．

令，則，

當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，

；

令，，

當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，

，

成立，

故對任意的，有．