Question

已知函數(shù)y=x•e^kx（k≠0）．
（1）求函數(shù)在（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)k討論，分k＞0，k＜0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)y=x•e^kx（k≠0）的導(dǎo)數(shù)為y′=e^kx+kxe^kx，
即有函數(shù)在（0，f（0））處的切線斜率為k=e⁰+0=1，
切點(diǎn)為（0，0），
則函數(shù)在（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（2）y′=e^kx+kxe^kx=（1+kx）e^kx，
當(dāng)k＞0，由y′＞0，即1+kx＞0，解得x＞-

1

k

；
由y′＜0，即1+kx＜0，解得x＜-

1

k

．
當(dāng)k＜0，由y′＞0，即1+kx＞0，解得x＜-

1

k

；
由y′＜0，即1+kx＜0，解得x＞-

1

k

．
則有當(dāng)k＞0，函數(shù)的增區(qū)間為（-

1

k

，+∞），減區(qū)間為（-∞，-

1

k

）；
當(dāng)k＜0，函數(shù)的減區(qū)間為（-

1

k

，+∞），增區(qū)間為（-∞，-

1

k

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查分類討論的思想方法，正確求導(dǎo)和掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．