Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+c（a，c∈R），滿足f（2）=9，f（c）＜a，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)+kx-3

x

（k∈R），對(duì)任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x₀）求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（2）=9，可得4a+c=17．由判別式△=0，可得ac=4．又f（c）＜a，可得c＜a，解得a和c的值，可得 f（x）的解析式．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[0，9]，由題意可得g（x）=

4x2-4x+1+kx-3

x

＜9，即4x²+（k-13）x-2＜0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立．設(shè)h（x）=4x²+（k-13）x-2，則

h(1)＜0 h(2)＜0

，由此求得k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)f（2）=9，可得4a+c=17．
由函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）知，方程ax²-4x+c=0，判別式△=0，即 ac=4．
又f（c）＜a，∴ac²-4c+c＜a，即c＜a，
解得：a=4，c=1，∴f（x）=4x²-4x+1． 
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[0，9]，
對(duì)任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x₀），
即g（x）=

4x2-4x+1+kx-3

x

＜9，即4x²+（k-13）x-2＜0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立．
設(shè)h（x）=4x²+（k-13）x-2，則

h(1)＜0 h(2)＜0

，即

k＜11 k＜6

，解得k＜6．
∴k的取值范圍是（-∞，6）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．