Question

已知四邊形ABCD是菱形，四邊形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H、M分別是CE、CF、FB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BDGH；
（Ⅱ）求證：EM⊥平面AFC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)OC，由三角形中位線定理得到OG∥AE，由此能證明AE∥平面BDGH．
（Ⅱ）連結(jié)FO，與EM交于N點(diǎn)，由已知條件推導(dǎo)出△MEF≌△BOF，由此得到FO⊥EM，進(jìn)而得到AC⊥EM，由此能證明EM⊥平面AFC．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)OC，在△AEC中，
∵G是CE的中點(diǎn)，∴OG∥AE，
又∵OG?平面BDGH，AE?平面BDGH，
∴AE∥平面BDGH．
（Ⅱ）連結(jié)FO，與EM交于N點(diǎn)，
∵四邊形BDEF為正方形，且M，O分別為BF、BD的中點(diǎn)，
∴EF=BF，MF=BO，∠MFE=∠FBO=90°，
∴△MEF≌△BOF，
∴∠EMF=∠BOF，
又在△MNF與△FBO中，∠MFN=∠BFO，
∴∠MNF=∠FBO=90°，
∴FO⊥EM，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
∴AC⊥平面BDEF，∴AC⊥EM，
∵AC?平面AFC，F(xiàn)D?平面AFC，F(xiàn)O∩AC=O，
∴EM⊥平面AFC．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．