Question

（12分）已知拋物線和點M（2，2），若拋物線L上存在不同的兩點A、B滿足。
（1）求實數(shù)p的取值范圍；
（2）當(dāng)時，拋物線L上是否存在異于A、B的點C，使得經(jīng)過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

,存在滿足題設(shè)的點C，其坐標(biāo)為（-2，1）。

解：（法一）（1）不妨設(shè)，且。
。
，即，即的取值范圍為。
（2）當(dāng)時，由（1）求得A、B的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，4）。假設(shè)拋物線L上存在點，使得經(jīng)過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線。設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓的方程為，則。
整理得，①∵函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，∴拋物線L在點處的切線的斜率為，∴經(jīng)過A、B、C三點的圓N在點處的切線斜為。∵，∴直線NC的斜率存在�！邎A心N的坐標(biāo)為，∴，即，      ②
，由①、②消去E，得。即。，故存在滿足題設(shè)的點C，其坐標(biāo)為（-2，1）。