Question

【題目】如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn)．

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

取BC中點(diǎn)F，連接FE，FD，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線平面BCE；
以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BED與平面BCD的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，

由題意知，四邊形為矩形，且．

因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以平面，所

以．

又,

所以平面．

（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，，
，，
設(shè)平面BED的一個(gè)法向量為，
由，取，得．
取平面BCD的一個(gè)法向量為，
．
且二面角為銳角，
二面角的余弦值為．