Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的便分別是a，b，c，A，B為銳角且B＜A，sinA=

5

5

，sin2B=

3

5

（1）求角C的值
（2）若b+c=

5

+1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（I）由已知sinA，sin2B可求cosA，cos2B，利用半角公式可求cosB，從而可得cosC=-cos（A+B）的值．
（II）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，結(jié)合b+c的值，解得k的值，進(jìn)而求得a、b、c的值，可得△ABC的面積為

1

2

bc•sinA的值．

解答： 解：：（Ⅰ）∵A為銳角，sinA=

5

5

＜

2

2

，∴cosA=

2 5

5

，且A∈（0，

π

4

）．
又∵B＜A，∴B∈（0，

π

4

）．
∵sin2B=

3

5

，∴cos2B=

4

5

，∴cosB=

1+cos2B 2

=

3

10

，∴sinB=

1

10

，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2 5

5

×

3

10

+

5

5

×

1

10

=-

2

2

，
∴C=

3π

4

．

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，可得b+c=

5

+1=（

1

10

+

2

2

）k，解得k=

10

，
∴a=

2

，b=1，c=

5

，故△ABC的面積為

1

2

bc•sinA=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角平方關(guān)系及半角公式、和差角公式的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．