Question

已知函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時，f（x）=

2x-x2，1≤x≤2 ln(x-1)，x＞2

，若實(shí)數(shù)a滿足f（2a）＞f（a+1），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)y=f（x+1）是偶函數(shù)判斷出函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱，然后再判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，再結(jié)合對稱性即可得到關(guān)于a的不等式，解之即可．

解答： 解：因?yàn)閥=f（x+1）是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱，
當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=-（x-1）²+1，在[1，2]上是減函數(shù)，且f（2）=0；
當(dāng)x＞2時，f（x）=-ln（x-1）也是減函數(shù)，且當(dāng)x→2時，f（x）→0，
故函數(shù)在[1，+∞）上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可知，f（x）在（-∞，1]上增函數(shù)，且關(guān)于x=1對稱，
所以由f（2a）＞f（a+1）可得，|2a-1|＜|a+1-1|，即|2a-1|＜|a|，
即3a²-4a+1＜0，解得（

1

3

，1）．
故答案為：(

1

3

，1)．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)條件下的不等式問題，因?yàn)樯婕暗胶瘮?shù)的奇偶性，因此應(yīng)研究函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于a的不等式．