Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a₂=1，{nS_n+（n+2）a_n}為等差數(shù)列，則a_n=（　　）

• A、

  n

  2n-1

• B、

  n+1

  2n-1+1

• C、

  2n-1

  2n-1

• D、

  n+1

  2n+1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)b_n=nS_n+（n+2）a_n，由已知得b₁=4，b₂=8，從而b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n，進(jìn)而得到{

an

n

}是以

1

2

為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，由此能求出an=

n

2n-1

．

解答： 解：設(shè)b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a₂=1，
∴b₁=4，b₂=8，
∴b_n=b₁+（n-1）×（8-4）=4n，
即b_n=nS_n+（n+2）a_n=4n
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-Sn-1+(1+

2

n

)an-(1+

2

n-1

)an-1=0
∴

2(n+1)

n

an=

n+1

n-1

an-1，即2•

an

n

=

an-1

n-1

，
∴{

an

n

}是以

1

2

為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴

an

n

=(

1

2

)n-1，∴an=

n

2n-1

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．