Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分別是棱C₁C、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求二面角B-A₁D-A的大小；
（2）在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定F的位置并證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：解法一：（1）分別延長AC，A₁D交于G，過C作CM⊥A₁G 于M，∠GMB為二面角B-A₁D-A的平面角．在Rt△CDG中求解即可．
（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，F(xiàn)為AC中點(diǎn)．證明時如下過程：由（1），BC⊥平面A₁C₁CA，得出B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F，得出F為AC中點(diǎn)，同理可證EF⊥BD，所以EF⊥平面A₁BD，F(xiàn)為垂足．
解法二：（1）如圖建系C-xyz．分別求出平面BA₁D，A₁DA的一個法向量，利用兩法向量的夾角求解．
（2）設(shè)F（0，y，0），欲使EF⊥平面A₁BD，當(dāng)且僅當(dāng)

n

∥

FE

，列出關(guān)于a的方程并求解即可．

解答：解：法一
（1）分別延長AC，A₁D交于G，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，過C作CM⊥A₁G 于M，…（2分）
連接BM，∴BM⊥A₁G，
∴∠GMB為二面角B-A₁D-A的平面角，…（4分）
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點(diǎn)，
∴CG=2，DC=1，在Rt△CDG中，CM=

2 5

5

，
∴tan∠GMB=

5

，
∴二面角B-A₁D-A的大小為arctan

5

．…（6分）
（2）在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD，F(xiàn)為AC中點(diǎn)…（8分）
證明如下：∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，∴B₁C₁∥BC，
∵由（1），BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA內(nèi)的射影為C₁F，∵F為AC中點(diǎn)，
∴C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D，…（10分）
同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD，
∵E為定點(diǎn)，平面A₁BD為定平面，∴點(diǎn)F唯一．…（12分）
法二
解：（1）∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，AC⊥CB，∴如圖建系C-xyz．
∵C₁C=CB=CA=2，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點(diǎn)．
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2），
設(shè)平面A₁BD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

BD

=（-2，0，1），

A1D

=(0，-2，-1)，
∴

n • BD =-2x+z=0 n • A1D =-2y-z=0

，∴取

n

=（1，-1，2）為平面A₁BD的一個法向量．
又∵平面A₁DA的法向量為

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

1

6

=

6

6

，
∴二面角B-A₁D-A的二面角為arccos

6

6

．
（2）∵F在線段AC上，∴設(shè)F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD，
欲使EF⊥平面A₁BD，當(dāng)且僅當(dāng)

n

∥

FE

，
∵

n

=（1，-1，2），

EF

=（1，-y，2），∴y=1，
∴存在唯一一點(diǎn)F（0，1，0）滿足條件，即點(diǎn)F為AC中點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查空間垂直的判定．二面角大小求解．考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．