Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=AC=a
（1）求證：BC₁⊥平面AB₁C
（2）求二面角B-AB₁-C的大小
（3）求三棱錐A₁-AB₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）由正方體的幾何特征，我們易證得AC⊥BC，AC⊥CC₁，由線面垂直的判定定理得AC⊥BCC₁B₁，進(jìn)而AC⊥BC₁，結(jié)合BC₁⊥B₁C，和線面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面AB₁C
（2）設(shè)BC₁∩B₁C=D，過(guò)D作DE⊥AB₁，則可得∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角，解Rt△BDE，即可求出二面角B-AB₁-C的大小
（3）根據(jù)V_A1-AB1C=V_C-A1AB1，我們分別求出三棱錐的底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）由題意得，在正方形BCC₁B₁中，
BC₁⊥B₁C
又∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，AC⊥CC₁，
∴AC⊥BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁，
∴BC₁⊥平面AB₁C
解：（2）設(shè)BC₁∩B₁C=D，過(guò)D作DE⊥AB₁，
∴∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角
在Rt△BDE中，sin∠BED=

BD

BE

=

3

2

∴∠BED=

π

3

故二面角B-AB₁-C的大小為

π

3

（3）作CF⊥AB，垂足為F，
∵ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，平面A₁AB⊥平面ABC
∴CF⊥平面A₁AB
∴CF的長(zhǎng)就是點(diǎn)C到平面A₁AB的距離
∵V_A1-AB1C=V_C-A1AB1=

1

3

•S_A1AB1•CF=

1

6

a3          （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，棱錐的體積公式，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的幾何特征，完成線線垂直和線面垂直之間的反復(fù)轉(zhuǎn)化；（2）的關(guān)鍵是證得∠BED就是二面角B-AB₁-C的平面角，（3）的關(guān)鍵是利用等體積法將求求三棱錐A₁-AB₁C的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐C-A₁AB₁的體積．