Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1，（n=1，2，3，…）．
（1）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

解：∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）
∴=2，a₁-1=-2
∴數(shù)列{a_n-n}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）由（1）得：a_n-n=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ，b_n=
∴Sn=b₁+b₂+…+b_n==
令Tn=，則Tn=，

兩式相減得：Tn==

∴T_n=，即S_n═-n （12分）
分析：（I）此證明題應(yīng)從結(jié)論中找方法，要證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，將題設(shè)中的條件a_n+1=2a_n-n+1變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n）即可；
（II）由（I）結(jié)論可求出b_n，由通項(xiàng)公式的形式可以看出，本題宜先用分組求和的技巧，然后對(duì)其一部分用錯(cuò)位減法求和．最后將結(jié)果綜合起來．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題，要觀察分析，判斷，選擇合適的方法，如（I）的求解要從證明的結(jié)論中找變形方向；（II）中的求解要邊變形邊觀察，化整為零，分塊求解，這對(duì)答題者分析判斷的能力要求較高