Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-a），求：
（1）f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）f（x）在[-1，0]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，討論a的取值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，從而求出f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）利用（1）的方法，求出f（x）在[-1，0]上的最大值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²（x-a）=x³-ax，
∴f′（x）=3x²-a；
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在[0，2]上的最大值是f（2）=2³-2a=8-2a；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=±

a 3

；
若

a 3

＜2，即a＜12時(shí)，f（x）在[0，2]上先減后增，最大值是max{f（0），f（2）}；
若

a 3

≥2，即a≥12時(shí)，f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，最大值是f（0）=0；
（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[-1，0]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（0）=0；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=±

a 3

；
若-

a 3

≤-1，即a≥3時(shí)，f（x）在[-1，0]上是單調(diào)減函數(shù)，最大值是f（-1）=-1+a；
若-

a 3

＞-1，即a≥12時(shí)，f（x）在[-1，0]上先減后增，最大值是max{f（-1），f（0）}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用分類討論的方法，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)在某一閉區(qū)間上的最值問題，是綜合性題目．