Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}各項均為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有a_n，b_n，a _n+1成等差數(shù)列，b_n，a _n+1，b _n+1成等比數(shù)列，且a₁=10，a₂=15，求證：{

bn

}為等差數(shù)列并求出{a_n}，{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n+1²=b_n•b_n+1，（n∈N^*），從而a_n=

bnbn-1

，（n≥2），由a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，（n≥2），由此能證明數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列．由a₁=10，a₂=15，得

b1

=

5 2

2

，從而b_n=（2

2

+

2 n

2

）²=

n2

2

+4n+8，（n≥2），由此能求出b_n=

n2

2

+4n+8，（n∈N^*），a_n=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n∈N^*）．

解答： 證明：∵b_n，a _n+1，b _n+1成等比數(shù)列，
∴a_n+1²=b_n•b_n+1，（n∈N^*）
∴a_n+1=

bnbn+1

，
∴a_n=

bnbn-1

，（n≥2）
∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，（n∈N^*）
∴2b_n=

bn×bn-1

+

bn×bn+1

=

bn

（

bn-1

+

bn+1

），（n≥2）
2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，（n≥2）
∴數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列．
∵a₁=10，a₂=15，∴2b₁=a₁+a₂=25，b₁=

25

2

，

b1

=

5 2

2

，
∵a_n=

bn-1bn

，（n≥2），
∴a₂=

b1

b2

，

b2

=

a2

b1

=3

2

，
∴d=

b2

-

b1

=

2

2

，∴

bn

=

5 2

2

+（n-1）•

2

2

=2

2

+

2

2

n，
∴b_n=（2

2

+

2 n

2

）²=

n2

2

+4n+8，（n≥2）
當n=1時，解得b₁=

25

2

，∴b_n=

n2

2

+4n+8，（n∈N^*）
a_n=

bn

b_n-1=

(2 2 + 2 n 2 )2[2 2 + 2 (n-1) 2 )2

=（2

2

+

2 n

2

）（2

2

+

2 (n-1)

2

）
=8+2n+2（n-1）+

1

2

n（n-1）
=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n≥2）
當n=1時，解得a₁=10，滿足條件，
∴a_n=

1

2

n²+

7

2

n+6．（n∈N^*）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．