Question

對(duì)于函數(shù)f（x），我們把使得f（x）=x成立的x稱為函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”；把使得f（f（x））=x成立的x稱為函數(shù)f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（1）求證：A⊆B；
（2）若f（x）=2x-1，求集合B；
（3）若f（x）=x²-a，且A=B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類求解若A=∅，則A⊆B顯然成立； 若A≠∅，
（2）得出f（f（t））=2（2x-1）-1=4x-3=x，求解即可．
（3）分類①△＜0，a＜

3

4

時(shí)，C=∅⊆A成立②△=0，A=

3

4

時(shí)，C={-

1

2

}，A={-

1

2

，

3

2

}，C⊆A成立③△＞0，總結(jié)即可．

解答： 解：（1）若A=∅，則A⊆B顯然成立；                       
若A≠∅，
設(shè)t∈A，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t
∴t∈B，
故A⊆B
（2）∵f（x）=2x-1，
∴f（f（t））=2（2x-1）-1=4x-3=x，
∴x=1             
∴B={1}                                              
（3）∵A≠∅有實(shí)根，∴a≥-

1

4

方程f（f（t））=（x²-a）²-a=x，可化為（x²-x-a）（x²+x-a+1）=0
設(shè)方程x²+x-a+1=0的解集為C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C
∵A=B，∴C⊆A    　　　　　　　　　　　　   
方程x²+x-a+1=0的判別式△=4a-3
①△＜0，a＜

3

4

時(shí)，C=∅⊆A成立
②△=0，A=

3

4

時(shí)，C={-

1

2

}，A={-

1

2

，

3

2

}，C⊆A成立
③△＞0，a＞

3

4

時(shí)，不合題意
由①②③得a≤

3

4

綜上所述　a∈[-

1

4

，

3

4

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合，函數(shù)的性質(zhì)，方程等問題，屬于中檔題，計(jì)算較麻煩，分類清晰，討論詳細(xì)．