Question

已知α∈（0，π），求證：2sin2α≤

sinα

1-cosα

，試用綜合法和分析法分別證明．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題,分析法,綜合法

分析：1．用綜合法證明：將右邊減去左邊，通分，配方，由α∈（0，π），得cosα與sinα的范圍，從而判斷差式的符號(hào)，即可得證．
2．用分析法證明：利用二倍角公式，將“sin2α”改寫為“2sinαcoaα”，從而原式等價(jià)于“4cosα≤

1

1-cosα

”，去分母，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為4cosα（1-cosα）≤1，即可化為完全平方式，得證．

解答： 證明：（綜合法）

sinα

1-cosα

-2sin2α
=sinα(

1

1-cosα

-4cosα)=

(1-2cosα)2sinα

1-cosα

，
∵α∈（0，π），∴-1＜cosα＜1，0＜sinα＜1，
∴

(1-2cosα)2sinα

1-cosα

≥0，即

sinα

1-cosα

-2sin2α≥0，
∴2sin2α≤

sinα

1-cosα

．
另證：（分析法）∵sin2α=2sinαcosα，
∴原不等式等價(jià)于4sinαcosα≤

sinα

1-cosα

．
又∵α∈（0，π），∴-1＜cosα＜1，0＜sinα＜1，
∴只需證4cosα≤

1

1-cosα

，化簡，
得4cosα（1-cosα）≤1，即證（2cosα-1）²≥0，而此式顯然成立，
故原不等式成立，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用綜合法及分析法證明三角不等式，關(guān)鍵是掌握綜合法與分析法的原理、步驟及格式．