Question

在直角坐標系xOy中，曲線C與y軸相交于B₁、B₂兩點，點M是曲線C上，且不同于B₁、B₂，直線B₁M、MB₂與x軸分別交于P、Q
（1）若曲線C的方程為

x2

4

+y²=1，求證：|OP|•|OQ|=4；
（2）若曲線C的方程為x²+y²=r²，且|OP|•|OQ|=3，求半徑r的值；
（3）對上述曲線外的其他二次曲線，類比第（1）或第（2）題的問題，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？試解答你提出的結論．

Answer 1

考點：類比推理,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）先設出P、Q的坐標，然后利用斜率公式求解，即可證明結論．
（2）由（1）知，設M（rcosθ，rsinθ），x_P=

rcosθ

1-sinθ

，x_Q=

rsinθ

1+sinθ

（3）設方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則M（acosθ，asinθ），x_P=

acosθ

1-sinθ

，x_Q=

asinθ

1+sinθ

，即可得出結論．

解答： 證明：（1）設M（2cosθ，sinθ），B₁（0，1），B₂（0，-1），P（x_P，0），Q（x_Q，0），
因為直線B₁M、MB₂分別與x軸交于P、Q兩點，
所以kB1M=kB1P，kB2M=kB2Q，
由斜率公式并計算得x_P=

2cosθ

1-sinθ

，x_Q=

2cosθ

1+sinθ

所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=4，可得|OP||OQ|為定值；
（2）由（1）知，設M（rcosθ，rsinθ），x_P=

rcosθ

1-sinθ

，x_Q=

rsinθ

1+sinθ

所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=r²=3，所以r=

3

；
（3）設方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則M（acosθ，asinθ），x_P=

acosθ

1-sinθ

，x_Q=

asinθ

1+sinθ

所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=a²．

點評：本題考查直線與曲線的位置關系，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．