Question

已知關(guān)于x的一元二次方程f（x）=ax²-4bx+1
（1）設(shè)集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P，Q中隨機取一個數(shù)為a和b，求函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)的概率
（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機點，設(shè)A={f（1）＜0}，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概率的概率公式進(jìn)行計算即可求出概率．
（Ⅱ）根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計算即可．

解答： 解（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，則b=-1；
若a=2，則b=-1，1；
若a=3，則b=-1，1，
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a．且a＞0時，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分對應(yīng)的面積S=

1

2

×8×8=32．
事件A滿足{（a，b）|

a+b-8≤0 a＞0，b＞0 f(1)＜0

}={（a，b）|

a+b-8≤0 a＞0，b＞0 a-4b+1＜0

}，
由

a+b-8=0 a-4b+1=0

，解得a=

31

5

，b=

9

5

，即交點坐標(biāo)（

31

5

，

9

5

），
則對應(yīng)三角形的面積S=

1

2

×(8-

1

4

)×

31

5

=

961

40

，
則所求事件的概率為P=

961 40

32

=

961

1280

．

點評：本題只要考查概率的求法，要求熟練掌握古典概型和幾何概型的概率公式，注意它們之間的聯(lián)系和區(qū)別．