Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在直線y=2x+1上．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂（a_n+1），求數(shù)列{（a_n+1）•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由點（a_n+1，a_n）（n∈N*）均在直線y=2x+1上可知：a_n+1=2a_n+1，變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）bn=log2(an+1)=log22n=n，可得(an+1)•bn=n•2n，利用“錯位相減法”即可得出．

解答： （I）證明：由點（a_n+1，a_n）（n∈N*）均在直線y=2x+1上可知：
a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
于是

an+1+1

an+1

=2(n∈N*)，
即數(shù)列{a_n+1}是以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n
∴an=2n-1．
（II）解：bn=log2(an+1)=log22n=n，
∴(an+1)•bn=n•2n，
∴Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-Tn=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
故Tn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．