Question

已知函數f（x）=x+

4

x

（1）求函數f（x）定義域；
（2）判斷并證明函數f（x）=x+

4

x

的奇偶性
（3）證明函數f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）直接根據分式有意義時分母不為0，求出x的取值范圍，得到本小題結論；（2）利用函數奇偶性定義，可證明本小題結論；（3）利用函數單調性定義證明本小題結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x+

4

x

，
∴分母x≠0，
∴函數f（x）定義域為{x|x≠0，x∈R}．
（2）任取x∈R，
則有f（-x）=-x+

4

-x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
∴函數f（x）=x+

4

x

是奇函數．
（3）在[2，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

4

x2

）-（x1+

4

x1

）=（x₂-x₁）+（

4

x2

-

4

x1

）=（x₂-x₁）(1-

4

x1x2

)=

(x2-x1)(x1x2-4)

x1x2

．
∵2≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂＞f（x₁）．
∴函數f（x）=x+

4

x

在x∈[2，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了函數的定義域、函數的奇偶性、函數的單調性，本題難度不大，屬于基礎題．