Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且方程f（x）+2x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=x²-2ax+b在閉區(qū)間[0，3]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得-

-2a

2

=1，從而a=1，根據(jù)方程f（x）-2x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得△=0，從而可求b的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f'（x）=2x-2，利用f'（x）＜0得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；f'（x）＞0得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合定義域可求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得-

-2a

2

=1，
∴a=1，
又方程f（x）-2x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，可得△=（2a-2）²-4b=0，
∴b=0，
∴

a=1 b=0

（2）由（1）知f（x）=x²-2x且f'（x）=2x-2可知，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f'（x）＜0所以f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f'（x）＞0所以f（x）單調(diào)遞增   
因?yàn)閒（0）=0，f（1）=-1，f（3）=3，
所以f（x）的最大值為3，f（x）最小值為-1．
注：也可以用二次函數(shù)的圖象來求最值．

點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查二次函數(shù)解析式的求解，考查二次函數(shù)在指點(diǎn)區(qū)間上的最值問題，解題時(shí)應(yīng)注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．