Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n+2，若將數(shù)列{a_n}的項重新組合，得到新數(shù)列{b_n}，具體方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此類推，第n項b_n由相應的{a_n}中2^n-1項的和組成．
（1）求數(shù)列{b_n-

1

4

•2ⁿ}的前n項和T_n；
（2）設數(shù)列{c_n}的通項公式c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

，求數(shù)列{c_n}的最小項．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得bn=a2n-1+aan-1+1+…+a2n-1+2n-1-1，由此求出b_n-

1

4

•2ⁿ=2^2n-2+2^2n-3+2^n-1=

3

8

•4n+

1

2

•2n，從而能求出數(shù)列{b_n-

1

4

•2ⁿ}的前n項和T_n．
（2）c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

=

3 8 •4n- 1 4 •2n+24

1 8 •2n

=3•2ⁿ+

192

2n

-2，利用均值定理能求出數(shù)列{c_n}的最小項是第3項．

解答： 解：（1）由題意得bn=a2n-1+aan-1+1+…+a2n-1+2n-1-1
=（2^n-1+2）+（2^n-1+3）+…+（2^n-1+2^n-1+1）
=2^n-1•2^n-1+（2+3+…+2^n-1+1）
=2^2n-2+

2n-1

2

(2n-1+3)
=2^2n-2+2^n-2（2^n-1+3）．
∴b_n-

1

4

•2ⁿ=2^2n-2+2^2n-3+2^n-1=

3

8

•4n+

1

2

•2n．
∴Tn=

3

8

•

4(1-4n)

1-4

+

1

2

•

2(1-2n)

1-2

=

1

2

(4n-1)+2n-1
=22n-1+2n-

3

2

．
（2）c_n=

bn-3×2n-2  +24

2n-3

=

3 8 •4n- 1 4 •2n+24

1 8 •2n

=

3•4n-2•2n+192

2n

=3•2ⁿ+

192

2n

-2
≥2

3•2n× 192 2n

-2
=50．
當且僅當2ⁿ=8即n=3時，取等號．
∴數(shù)列{c_n}的最小項是第3項．

點評：本題考查數(shù)列的數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)一鐵最小項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．