Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-DF-A的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結AC．通過證明EF∥PC，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AD中點O，以O為原點，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．求出平面EFD的一個法向量是

n

，利用|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

求解二面角E-DF-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，連結AC．
因為底面ABCD是正方形，所以AC與BD互相平分．
又因為F是BD中點，所以F是AC中點．
在△PAC中，E是PA中點，F(xiàn)是AC中點，
所以EF∥PC，又因為EF?平面PBC，
所以EF∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）取AD中點O，在△PAD中，因為PA=PD，所以PO⊥AD．
因為面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，
所以PO⊥面ABCD，因為OF?平面ABCD，所以PO⊥OF．
又因為F是AC中點，所以OF⊥AD．
如圖，以O為原點，OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
因為PA=PD=AD=2，所以OP=

3

，則有O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P(0，0，

3

)，E(

1

2

，0，

3

2

)，F(xiàn)（0，1，0）
于是

AB

=(0，2，0)，

DE

=(

3

2

，0，

3

2

)，

DF

=(1，1，0)．
顯然

OP

=(0，0，

3

)是平面FAD的一個法向量．
設平面EFD的一個法向量是

n

=（x，y，z）．
故

n • DE =0 n • DF =0

即

x+y=0 3 2 x+ 3 2 z=0，

令x=1則

n

=(1，-1，-

3

)．
所以|cos＜

OP

，

n

＞|=

| OP • n |

| OP |•| n |

=

|-3|

3 • 5

=

15

5

．
由圖可知，二面角E-DF-A為銳角，所以其余弦值為

15

5

…（12分）

點評：本題考查空間向量求解二面角的大小，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．