【題目】已知函數,.
(1)求函數的極小值;
(2)設函數,討論函數在上的零點的個數;
(3)若存在實數,使得對任意,不等式恒成立,求正整數的最大值.
【答案】(1);(2)分類討論,詳見解析;(3)4.
【解析】
(1)求導后,利用導數可求得極小值;
(2)轉化為討論在上的解的個數,再利用導數可解決;
(3) 轉化為對任意的,不等式恒成立后,構造函數利用導數可解得,
(1),.
則,
令,得;令,得或(或列表求)
∴函數在單調減,在單調增,在上單調減,
∴函數在處取得極小值;
(2),
∵,∴,
設,則,令,則.
∴在上單調減,在上單調增,且,,,.
∴當或時,有1解,
即在上的零點的個數為1個;
當時,有2解,即在上的零點的個數為2個;
當時,有0解,即在上的零點的個數為0個.
(3)∵,存在實數,使對任意的,不等式恒成立,∴存在實數,使對任意的,不等式恒成立.
∵,∴對任意的,不等式恒成立.
即對任意的,不等式恒成立.
設,,
∴,可求得在上單調增,在上單調減,在上單調增,
則在上單調減,在上單調增,
當時,在上遞減,所以恒成立;
當時,在上遞減,在上遞增,所以,因為, ,而;所以在上不恒成立,
∴正整數的最大值為4.
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【題目】如圖,在四棱錐中,側棱底面,底面是直角梯形,∥,,且,,是棱的中點 .
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)設點是線段上的動點,與平面所成的角為,求的最大值.
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【題目】(1)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數,求圓的參數方程;
(2)在平面直角坐標系中,已知直線的參數方程為,(為參數),曲線的參數方程為(為參數),若與相交于兩點,求的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨著城市地鐵建設的持續(xù)推進,市民的出行也越來越便利.根據大數據統(tǒng)計,某條地鐵線路運行時,發(fā)車時間間隔t(單位:分鐘)滿足:4≤t≤15,N,平均每趟地鐵的載客人數p(t)(單位:人)與發(fā)車時間間隔t近似地滿足下列函數關系:,其中.
(1)若平均每趟地鐵的載客人數不超過1500人,試求發(fā)車時間間隔t的值.
(2)若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為(單位:元),問當發(fā)車時間間隔t為多少時,平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大?井求出最大凈收益.
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【題目】上海地鐵四通八達,給市民出行帶來便利,已知某條線路運行時,地鐵的發(fā)車時間間隔(單位:分字)滿足:,,經測算,地鐵載客量與發(fā)車時間間隔滿足,其中.
(1)請你說明的實際意義;
(2)若該線路每分鐘的凈收益為(元),問當發(fā)車時間間隔為多少時,該線路每分鐘的凈收益最大?并求最大凈收益.
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【題目】已知集合,集合,集合.
(1)用列舉法表示集合C;
(2)設集合C的含n個元素所有子集為,記有限集合M的所有元素和為,求的值;
(3)已知集合P、Q是集合C的兩個不同子集,若P不是Q的子集,且Q不是P的子集,求所有不同的有序集合對的個數;
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