【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)的極大值等于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）求得函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，由此求得切線方程.

（2）通過(guò)求的二階導(dǎo)數(shù)，研究其一階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此證得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)根據(jù)（2）的結(jié)論證得結(jié)論成立.當(dāng)，根據(jù)的二階導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成三種情況，利用的一階導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以在處的切線方程為.

（2），令，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以，所以只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）①當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值為，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，注意到，

（�。┊�(dāng)時(shí)，，又.

所以存在，使得，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不合題意；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，又，令

，在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，且，不合題意.

綜上可知，的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅱ）若，問(wèn)函數(shù)有無(wú)極值點(diǎn)？若有，請(qǐng)求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的極小值；

（2）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法正確的是（ ）

①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣.

②某地氣象局預(yù)報(bào)：5月9日本地降水概率為，結(jié)果這天沒(méi)下雨，這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué).

③在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好.

④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量增加0.1個(gè)單位.

A.①②B.③④C.①③D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)滿足：集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)是等比源函數(shù)．

（）判斷下列函數(shù)：①；②；③中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）

（）判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

（）證明： ， ，函數(shù)都是等比源函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)，橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k的直線交D于P、Q兩點(diǎn)，若線段PQ的中點(diǎn)為N，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON交直線于點(diǎn)M．

若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；

求證：；

求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)，這5部專(zhuān)著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期，某中學(xué)擬從這5部專(zhuān)著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專(zhuān)著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專(zhuān)著的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)為橢圓上三個(gè)動(dòng)點(diǎn),在第二象限,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,判斷是否存在最小值,若存在,求出該最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于x的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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