Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

+x（a∈R）．
（1）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不是單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若以函數(shù)y=f（x）-x（0＜x≤3）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數(shù)a的最小值；
（3）當a=2時，在集合{m|0≤m≤1或

3

2

≤m≤3}內隨機取一個實數(shù)m，設事件M：函數(shù)g（x）=f（x）-mx有零點，求事件M發(fā)生的概率．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,幾何概型

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

x2+x-a

x2

，由題意可得f′（1）＜0，即可解得a的取值范圍；
（2）k=y′|x=x0=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，由二次函數(shù)的性質可得當x₀=1時，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值，問題得到解決．
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-mx有零點，等價于g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m=0，即m=

1

x

-

2

x2

+1，利用導數(shù)求得m的取值范圍，即可求得結論．

解答： 解：（1）f（x）=lnx+

a

x

+x（a∈R）
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上不是單調遞增，
∴f′（1）＜0，即1+1-a＜0，∴a＞2．
（2）∵y=f（x）-x=lnx+

a

x

（0＜x≤3），
y′=

x-a

x2

（0＜x≤3），k=y′|x=x0=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

（0＜x₀≤3）恒成立?a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，
∵當x₀=1時，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，
∴a≥

1

2

，
∴a_min=

1

2

．
（3）g（x）=f（x）-mx=lnx+

2

x

+x-mx，
∴g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-mx有零點，等價于g′（x）=

1

x

-

2

x2

+1-m=0，即m=

1

x

-

2

x2

+1，
令p（x）=

1

x

-

2

x2

+1，則p′（x）=-

1

x2

+

4

x3

=

4-x

x3

，
∴x∈（0，4）時，p′（x）＞0，x∈（4，+∞）時，p′（x）＜0
∴p（x）_max=p（4）=

9

8

，
∴m≤

9

8

，
∴事件M發(fā)生的概率為P（M）=

1

1+3- 3 2

=

2

5

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與化歸思想的綜合運用，屬于難題．