Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+

π

6

）+cos⁴x-sin⁴x
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

2

，

π

6

]，求f（x）的最大值、最小值及相應的x值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的定義域和值域

專題：

分析：本題主要考查三角函數的恒等變換，三角函數的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=

2π

ω

，屬于中檔題．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）+（cos²x-sin²x ）×1
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+cos2x=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x+

1

2

=

3

sin（2x+

π

3

）+

1

2

，
故函數的周期為

2π

2

=π．
（2）若x∈[-

π

2

，

π

6

]，則 2x+

π

3

∈[-

2π

3

，

2π

3

]，
故當 2x+

π

3

=-

π

2

時，函數f（x）取得最小值為-

3

+

1

2

；當 2x+

π

3

=

π

2

時，函數f（x）取得最大值為

3

+

1

2

，
即當x=-

5π

12

時，函數f（x）取得最小值為-

3

+

1

2

；當x=

π

12

時，函數f（x）取得最大值為

3

+

1

2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，三角函數的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=

2π

ω

，屬于中檔題．