Question

某校校慶，各界校友紛至沓來，某班共來了n位校友（n＞8且n∈N^*），其中女校友6位，組委會(huì)對(duì)這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友代表是一男一女，則稱為“友情搭檔”．
（Ⅰ）若隨機(jī)選出的2位校友代表為“友情搭檔”的概率不小于

1

2

，求n的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)n=12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和均值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題可知，所選兩人為“最佳組合”的概率P=

C 1 n-6 C 1 6

C 2 n

=

12(n-6)

n(n-1)

≥

1

2

，由此能求出n的最大值．
（Ⅱ）由題意得，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和均值．

解答： 解：（Ⅰ）由題可知，所選兩人為“最佳組合”的概率P=

C 1 n-6 C 1 6

C 2 n

=

12(n-6)

n(n-1)

，
則

12(n-6)

n(n-1)

≥

1

2

，
化簡(jiǎn)得n²-25n+144≤0，解得9≤n≤16，
故n的最大值為16； 
（Ⅱ）由題意得，ξ的可能取值為0，1，2，
則P(ξ=0)=

C 2 6

C 2 12

=

5

22

，
P(ξ=1)=

C 1 6 C 1 6

C 2 12

=

6

11

，
P(ξ=2)=

C 2 6

C 2 12

=

5

22

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	5 22	6 11	5 22

∴Eξ=0×

5

22

+1×

6

11

+2×

5

22

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法與應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．