已知數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2時(shí),Sn=nan+
n+12n

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
分析:(1)a1=1,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan+
n+1
2n
-(n-1)an-1+
n
2n-1
,移向整理得出an-an-1=
1
2n
,利用累加法求通項(xiàng)
(2)bn=nan=
3n
2
-
n
2n
,利用分組法,再分別利用公式法和錯(cuò)位相消法求和.
解答:解:(1)a1=1,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan+
n+1
2n
-(n-1)an-1+
n
2n-1
,
移向整理得出an-an-1=
1
2n
,
當(dāng)n≥2時(shí),an=(an-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a1
=
1
2n
+
1
2n-1
+…+
1
22
+1
=1+
1
2
-
1
2n
=
3
2
-
1
2n
,n=1時(shí)也適合
所以an=
3
2
-
1
2n
,
(2)bn=nan=
3n
2
-
n
2n
,
Tn=
3
2
(1+2+…+n)
-(
1
21
+
2
22
+…
n
2n

令Tn′=
1
21
+
2
22
+…
n
2n
,兩邊同乘以
1
2

1
2
Tn′=
1
22
+
2
23
+…
n-1
2n
+
n
2n+1

兩式相減得出
1
2
Tn′=
1
21
+
1
22
+…
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1
=1-
n+2
2n+1

Tn′=2-
n+2
2n

所以Tn=
3
2
(1+2+…+n)
-(
1
21
+
2
22
+…
n
2n

=
3n(n+1)
4
-2+
n+2
2n
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推公式,通項(xiàng)公式、數(shù)列求和.考查累加法,公式法、錯(cuò)位相消法的求和方法.考查計(jì)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( �。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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