Question

（2013•黑龍江二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，點(diǎn)C是⊙O直徑BE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∠ACB的平分線CD與AB相交于點(diǎn)D，與AE相交于點(diǎn)F，
（Ⅰ）求∠ADF的值
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（I）利用切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直徑，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．
（II）利用等邊對(duì)等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．
進(jìn)而得到△ACE∽△BCA，于是

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°．

解答：解：（I）∵AC是⊙O的切線，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直徑，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（II）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．