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15.若數(shù)列{an}中,a1=13,an+1=n+13nan
(1)證明:數(shù)列{ann}的是等比數(shù)列,
(2)求{an}的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn

分析 (1)數(shù)列{an}中,a1=13,an+1=n+13nan.變形為an+1n+1=ann×13,利用等比數(shù)列的定義即可證明.
(2)由(1)可得:ann=13n,即可得出an
(3)利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 (1)證明:∵數(shù)列{an}中,a1=13,an+1=n+13nan
an+1n+1=ann×13
∴數(shù)列{ann}的是等比數(shù)列,首項(xiàng)為13,公比為13
(2)解:由(1)可得:ann=13n,因此an=n3n
(3)解:數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn=13+232+333+…+n3n
13Sn=132+233+…+n13n+n3n+1,
23Sn=13+132+…+13n-n3n+1=13113n113-n3n+1=12-3+2n2×3n+1
∴Sn=34-3+2n4×3n

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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